Question

已知拋物線過點(diǎn)。

(Ⅰ)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

(Ⅱ) 過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且滿足直線平行軸，試判斷坐標(biāo)原點(diǎn)與直線的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

(Ⅰ) ，

(Ⅱ) 坐標(biāo)原點(diǎn)在直線 上.

【解析】

試題分析：在求拋物線的方程式，注意將拋物線上的一個點(diǎn)的坐標(biāo)帶入拋物線的方程即可求得，對于第二問，注意答題的習(xí)慣，應(yīng)該先寫出點(diǎn)和直線的關(guān)系，再證明點(diǎn)在直線上，證明的時候就應(yīng)用了三點(diǎn)共線的條件，應(yīng)用的直線的斜率相等做的.

試題解析：（1） 將M(1，-2)代入y2=2px， 得(-2)2=2p·1，所以p=2.

故所求的拋物線C的方程為： 3分

其準(zhǔn)線方程為x=-1. 4分

（2）判斷坐標(biāo)原點(diǎn)在直線上， 5分

現(xiàn)證明如下：依題意可設(shè)過F的直線l方程為：x=my+1（m），

設(shè),

由得：

依題意可知，且 9分

又∵

又∵， ∴

即證坐標(biāo)原點(diǎn)在直線 上 12分

（說明：直線l方程也可設(shè)為：y=k（x-1），但需加入對斜率不存在情況的討論，否則扣1分）

考點(diǎn)：拋物線的方程，拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，證明三點(diǎn)共線的方法.