Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn).

（1）證明：B F//平面E CD₁

（2）求二面角D₁—EC—D的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：取CD₁中點(diǎn)G，連結(jié)FG得出且FG //BE；

由四邊形FG EB為平行四邊形得到BF //GE，證得B F//平面E CD₁；

（2）cos∠DED₁.

【解析】

試題分析：（1）證明：取CD₁中點(diǎn)G，連結(jié)FG

∵F為CC₁的中點(diǎn).D₁  ∴且FG //C₁D₁

∵且AB //C₁D₁∴且FG //BE

∴四邊形FG EB為平行四邊形∴BF //GE   4分

∵平面E CD₁    平面E CD₁

∴B F//平面E CD₁   7分

（2）連結(jié)DE

∵AD=AA₁=1，AB="2" ,  E為AB的中點(diǎn)

∴   9分

∵平面ABCD   ∴E C

又  平面E DD₁    平面E DD₁

∴平面E DD₁

∴ E D₁   11分

∴∠DED₁為二面角D₁—EC—D的平面角.    12分

中  ∴中

∴cos∠DED₁   14分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。解題過(guò)程中，注意轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。