Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ ﹣2lnx，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， ①求a的取值范圍；
②證明：f（x2）＜x2﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) 的定義域為（0，+∞）， ，

令f′（x）=0，得x2﹣2x+a=0，其判別式△=4﹣4a，

①當(dāng)△≤0，即a≥1時，x2﹣2x+a≥0，f′（x）≥0，此時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)△＞0，即a＜1時，方程x2﹣2x+a=0的兩根為 ， ，

若a≤0，則x1≤0，則x∈（0，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，

此時，f（x）在（0，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增；

若a＞0，則x1＞0，則x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，

此時，f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，在（x2，+∞）上單調(diào)遞增．

綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，1+ ）上單調(diào)遞減，在（1+ ，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在（0，1﹣ ）上單調(diào)遞增，在（1﹣ ，1+ ）上單調(diào)遞減，在（1+ ，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a≥1時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

（2）①解：由（1）可知，函數(shù)f（x）有兩個極值點x1，x2，等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞）有

兩不等實根，故0＜a＜1．

②證明：由上述過程得0＜a＜1， ，且1＜x2＜2， ． ，

令g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，

則 ，

由于1＜t＜2，則g′（t）＜0，故g（t）在（1，2）上單調(diào)遞減．

故g（t）＜g（1）=1﹣2ln1﹣1=0．

∴f（x2）﹣x2+1=g（x2）＜0．

∴f（x2）＜x2﹣1．

【解析】（1）求出函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令f′（x）=0，①當(dāng)△≤0，②當(dāng)△＞0進(jìn)行分類討論．（2）①求出函數(shù)f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 等價于方程x2﹣2x+a=0在（0，+∞），直接推出結(jié)果． ②通過（1），（2），推出0＜a＜1，構(gòu)造新函數(shù)g（t）=t﹣2lnt﹣1，1＜t＜2，利用新函數(shù)的單調(diào)性證明
求解即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．