Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a∈（0，2]，使得對任意的x∈[0，a]，不等式0≤f（x）≤a恒成立？若存在，求出所有a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x³-

9

2

x2+6x，
∴f′（x）=3x²-9x+6．…（2分）
令f′（x）=0，則x=1或x=2，
當f′（x）＞0時，x＜1，或x＞2； 當f′（x）＜0時，1＜x＜2，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞），單調遞減區(qū)間是（1，2）．        …（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³-

3

4

(a+4)x2+

3

2

(a+2)x，
∴f′（x）=3x²-

3

2

(a+4)x +

3

2

(a+2)．
f′（x）=0，則x=1或x=

a

2

+1（a∈（0，2]），
當f′（x）＞0時，x＜1，或x＞

a

2

+1；當f′（x）＜0時，1＜x＜

a

2

+1，
所以f（x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，1），（

a

2

+1，+∞），單調遞減區(qū)間是（1，

a

2

+1）．  …（9分）
因為f（0）=0，下面分類討論研究當x∈[0，a]時，f（x）最大值與最小值：
（1）當0＜a≤1時，f（x）在[0，a]上單調遞增，
即f（x）的最小值為f（0）=0，最大值為f（a），
只要f（a）≤a成立即可，解得2≤a≤4，所以a不存在．   …（12分）
（2）當1＜a≤2時，即1＜a＜

a

2

+1，f（x）在[0，1]上單調遞增，在（1，a） 單調遞減，
即f（x）的最小值為f（0）=0或f（a），最大值為f（1），
只要

f(a)≥0 f(1)≤a

，解得a≥4，所以a也不存在．
綜上所述，滿足條件的實數(shù)a不存在．                         …（15分）