Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂
垂直于直線l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程：
（3）C₂與x軸交于點Q，不同的兩點R，S在C₂上，且滿足

.

QR

•

.

QS

=0，若R、S到x軸的距離分別為d₁和d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由離心率為

3

3

，求出a，b，c的關(guān)系，再利用直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，求出b即可求橢圓C₁的方程；
（2）把題中條件轉(zhuǎn)化為動點M的軌跡是以l₁：x=-1為準線，F(xiàn)₂為焦點的拋物線，即可求點M的軌跡C₂的方程；
（3）先設(shè)出點R，S的坐標，利用

QR

•

RS

=0求出點R，S的坐標之間的關(guān)系，再用點R，S的坐標表示出 d₁+d₂，利用函數(shù)求最值的方法即可求 d₁+d₂的最小值．

解答：解：（1）由 e=

3

3

得2a²=3b²，又由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
得 b=

2

，a=

3

，∴橢圓C₁的方程為：

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（2）由MP=MF₂得動點M的軌跡是以l₁：x=-1為準線，
F₂為焦點的拋物線，∴點M的軌跡C₂的方程為y²=4x．（8分）
（3）Q（0，0），設(shè) R(

y 2 1

4

，y1)，S(

y 2 2

4

，y2)，
∴

QR

=(

y 2 1

4

，y1)，

RS

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)，
由

QR

•

RS

=0，得

y 1 2y  2 2

16

+y1y2=0，∴y₁y₂=-16，
∴d₁+d₂=|y₁|+|y₂|═|y₁|+|

16

y1

|≥8，
當y₁=±4時取等號，d₁+d₂的最小值為8．

點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對應(yīng)方程的判別式為0求解．