Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，求該雙曲線的方程．

Answer 1

分析：由題意因?yàn)閳AC：x²+y²-6x+5=0把它變成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知其圓心為（3，0），利用雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程建立a，b的方程．再利用雙曲線的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，建立另一個(gè)a，b的方程．

解答：解：因?yàn)閳AC：x²+y²-6x+5=0?（x-3）²+y²=4，由此知道圓心C（3，0），圓的半徑為2，
又因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心而雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∴a²+b²=9①
又雙曲線的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，而雙曲線的漸近線方程為：y=±

b

a

x⇒bx±ay=0⇒

3b

a2+b2

=2   ②
連接①②得：

b=2 a2=5

．
∴雙曲線的方程：

x2

5

-

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了直線與圓相切的等價(jià)條件，還考查了雙曲線及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及利用方程的思想進(jìn)行解題．