Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，上頂點(diǎn)為A（0，1），右焦點(diǎn)為F（1，0），右準(zhǔn)線(xiàn)為l，l與x軸交于P點(diǎn)，直線(xiàn)AF交橢圓與點(diǎn)B．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：PF是∠APB的平分線(xiàn)；
（3）在l上任意取一點(diǎn)Q，求證：直線(xiàn)AQ，F(xiàn)Q，BQ的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)闄E圓中心在原點(diǎn)，上頂點(diǎn)為A（0，1），右焦點(diǎn)為F（1，0），所以b=1，c=1，a²=2，由此能求出橢圓的方程．
（2）準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=2，直線(xiàn)AB的方程：y=-x+1，代入

x2

2

+y2=1，得3x²-4x=0，所以B(

4

3

，-

1

3

)，kAP=-

1

2

，kBP=

0-(- 1 3 )

2- 4 3

=

1

2

=-k_AP，由此能證明PF是∠APB的平分線(xiàn)．
（3）設(shè)Q（2，t）（t∈R），kAQ=

t-1

2

，k_FQ=t，kBQ=

t+ 1 3

2- 4 3

=

3t+1

2

，由此能證明直線(xiàn)AQ，F(xiàn)Q，BQ的斜率成等差數(shù)列．

解答：（1）解：因?yàn)闄E圓中心在原點(diǎn)，上頂點(diǎn)為A（0，1），右焦點(diǎn)為F（1，0），
所以b=1，c=1，a²=2，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）證明：準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=2，
∵直線(xiàn)AB過(guò)A（0，1），F(xiàn)（1，0）
∴直線(xiàn)AB的方程：y=-x+1，代入

x2

2

+y2=1，
整理，得3x²-4x=0，
解得x=0或x=

4

3

，…（6分）
把x=

4

3

代入

x2

2

+y2=1，得y=±

1

3

，
∴B(

4

3

，-

1

3

)，kAP=-

1

2

，kBP=

0-(- 1 3 )

2- 4 3

=

1

2

=-k_AP，
所以PF是∠APB的平分線(xiàn)．…（10分）
（3）證明：設(shè)Q（2，t）（t∈R），
kAQ=

t-1

2

，k_FQ=t，
kBQ=

t+ 1 3

2- 4 3

=

3t+1

2

，
因?yàn)?span id="ey00ecm" class="MathJye">kAQ+kBQ=

t-1

2

+

3t+1

2

=2t=2k_FQ，
所以直線(xiàn)AQ，F(xiàn)Q，BQ的斜率成等差數(shù)列．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用，具體涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，橢圓的基本知識(shí)，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．