如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、、,我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓和,判斷與是否相似,如果相似則求出與的相似比,若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓為,且直線與橢圓為相交于兩點(diǎn)(異于端點(diǎn)),試問(wèn):當(dāng)面積最大時(shí), 是否與有關(guān)?并證明你的結(jié)論.
(3)根據(jù)與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程,提出你認(rèn)為有價(jià)值的相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
見(jiàn)解析.
【解析】第一問(wèn)中利用根據(jù)已知的的定義進(jìn)行判定特征三角形是否相似即可
第二問(wèn)中,設(shè)直線方程,借助于聯(lián)立方程組,和韋達(dá)定理可以表示斜率之積,然后可知為定植
第三問(wèn)中,利用類比推理的思想可知兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有:
兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方;
分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似,相似比即為橢圓的相似比;
兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合;
過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比
解:(1)由題意可知,橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、,我們稱為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比,所以橢圓與相似. ………2分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912184062455382/SYS201207091219178588524077_DA.files/image005.png">的特征三角形是腰長(zhǎng)為4,底邊長(zhǎng)為的等腰三角形,
而橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為2,底邊長(zhǎng)為的等腰三角形,
因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為2:1 ……… 4分
(2)橢圓的方程為:.
= 與b無(wú)關(guān) -----------6分
(3)橢圓的方程為:.
兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有:
兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方;
分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似,相似比即為橢圓的相似比;
兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合;
過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比. ---------------6分
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(本小題滿分13分)
如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)為、,離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)①求直線的斜率的取值范圍;
②在直線的斜率不斷變化過(guò)程中,探究和是否總相等?若相等,請(qǐng)給出證明,若不相等,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年重慶市高三最后一次模擬考試?yán)頂?shù) 題型:填空題
如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)為、,點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)作的外角平分線的垂線,垂足為點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,線段的中點(diǎn)為,則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______________
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如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)F2作的外角平分線的垂線,垂足為點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作軸的垂線,垂足為N,線段QN的中點(diǎn)為M,則點(diǎn)M的軌跡方程為 。
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