Question

（2012•臨沂二模）已知

a

=(3

3

cosx，

2

cosx），

b

=(sinx，

2

cosx)，設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

b

|2-

5

2

．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若α∈[

π

6

，

π

2

]且f（α）=

3

，求f（α-

π

12

）的值．

Answer 1

分析：由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及模的計(jì)算法則列出f（x）的函數(shù)解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）由x的范圍，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）由f（α）=

3

，將x=α代入函數(shù)解析式，得到sin（2α+

π

6

）的值，由α的范圍得到2α+

π

6

的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（2α+

π

6

）的值，將x=α-

π

12

代入函數(shù)解析式中，整理后將角度變形為（2α+

π

6

）-

π

6

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，將求出的sin（2α+

π

6

）和cos（2α+

π

6

）的值代入，即可求出值．

解答：解：∵

a

=（3

3

cosx，

2

cosx），

b

=（sinx，

2

cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+|

b

|²-

5

2

=3

3

cosxsinx+2cos²x+sin²x+2cos²x-

5

2

=

3 3

2

sin2x+3cos²x-

3

2

=

3 3

2

sin2x+

3

2

（1+cos2x）-

3

2

=3（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=3sin（2x+

π

6

），
（Ⅰ）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴-

3

2

≤3sin（2x+

π

6

）≤3，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

3

2

，3]；
（Ⅱ）∵f（α）=

3

，∴3sin（2α+

π

6

）=

3

，
∴sin（2α+

π

6

）=

3

3

，又α∈[

π

6

，

π

2

]，
∴2α+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，
∴cos（2α+

π

6

）=-

1-sin2(2α+ π 6 )

=-

6

3

，
∴f（α-

π

12

）=3sin[2（α-

π

12

）+

π

6

]=3sin2α
=3sin[（2α+

π

6

）-

π

6

]=3sin（2α+

π

6

）cos

π

6

-3cos（2α+

π

6

）sin

π

6

=3×

3

3

×

3

2

-3×（-

6

3

）×

1

2

=

3+ 6

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．