Question

設(shè)數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a_n+1=a_n-a_n²．
（Ⅰ）求證：對(duì)一切n≥2，都有a_n≤

1

n+2

；
（Ⅱ）已知前n項(xiàng)和為S，求證：對(duì)一切n≥2，都有S_2n-S_n-1＜ln2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得0＜a₁＜1，當(dāng)n=2時(shí)，a3=a2-a22=

1

4

-(a1-

1

2

)2≤

1

4

，不等式成立，假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，由已知推導(dǎo)出不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)一切n≥2，都有a_n≤

1

n+2

．
（Ⅱ）設(shè)f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

，x＞0則f′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，ln（x+1）＞

x

x+1

，令x=

1

n+1

，代入上式，得

1

n+2

＜ln(n+2)-ln(n+1)，由此能證明對(duì)一切n≥2，都有S_2n-S_n-1＜ln2．

解答： 證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足a_n+1=a_n-a_n²，
∴a2=a1-a12＞0，解得0＜a₁＜1，
當(dāng)n=2時(shí)，a3=a2-a22=

1

4

-(a1-

1

2

)2≤

1

4

，不等式成立，
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，即ak≤

1

k+2

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
ak+1=ak-ak2=

1

4

-(ak-

1

2

)2
≤

1

4

-（

1

k+2

-

1

2

）²=

k+1

(k+2)2

＜

k+1

(k+1)(k+3)

=

1

(k+2)+1

，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，
由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)一切n≥2，都有a_n≤

1

n+2

．
（Ⅱ）設(shè)f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

，x＞0
則f′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
則f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞

x

x+1

，
令x=

1

n+1

，代入上式，得

1

n+2

＜ln(n+2)-ln(n+1)，
故對(duì)一切n≥2，S_2n-S_n-1=a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n
≤

1

n+2

+

1

n+3

+

1

n+4

+…+

1

2n+2

＜ln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+…+ln（2n+2）-ln（2n+1）
=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2．
∴對(duì)一切n≥2，都有S_2n-S_n-1＜ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．