Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a，b為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）若，求函數(shù)f（x）圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)b=0時(shí)，設(shè)g（x）=|f（x）|（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值H（a）．

Answer 1

【答案】分析：（I）先確定函數(shù)的表達(dá)式，然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后由直線的方程求出切線方程即可；
（II）研究g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函數(shù)，所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值問題即可，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，f（x）=x³-x+2，∴f（1）=2，f′（x）=3x²-1．
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，2）處切線斜率為f′（1）=2，（2分）
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x．（3分）
（Ⅱ）顯然g（x）=|x³-3ax|（x∈[-1，1]）是偶函數(shù)，
所以只要求出g（x）=|x³-3ax|（x∈[0，1]）的最大值即可．又f'（x）=3（x²-a），
①a＜0時(shí)，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，∴f（x）≥f（0）=0．
∴f（x）=g（x），∴H（a）=f（1）=1-3a．（5分）
②a＞0時(shí)，則在[0，1]上．
（i）即a≥1時(shí)，則在[0，1]上f（x）為減函數(shù)，
∴f（x）≤f（0）=0，∴g（x）=-f（x），
∴H（a）=-f（1）=3a-1．（7分）
（ii）0＜a＜1時(shí)，則在[0，1]上．

則可以畫出g（x）的草圖如下，并且由圖可知：

當(dāng)即時(shí)，g（x）的最大值
當(dāng)即時(shí)，g（x）的最大值H（a）=f（1）=1-3a
綜上所述：．（12分）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．