Question

數(shù)列{a_n}中，S_n=2a_n+（-1）ⁿ．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)m＞4時(shí)，證明

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

＜

7

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式

分析：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；
②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)可得a_n+

2

3

（-1）ⁿ=2（a_n-1+

2

3

（-1）^n-1），則可得{a_n+

2

3

（-1）ⁿ}是以

1

3

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)m=4n，n∈N^*，

1

am

=

1

1 3 •24n-1- 2 3

=

6

24n-4

=

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）；利用放縮法可得

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

=

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

14

-

1

18

）+

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）
＜

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

6

-

1

7

）+

3

2

（

1

n+4

-

1

n+5

），從而證明

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

＜

7

8

．

解答： 解：（1）由題意，
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-1，
解得a₁=1；
②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n+（-1）ⁿ）-（2a_n-1+（-1）^n-1）
=2a_n-2a_n-1+2（-1）ⁿ，
∴a_n=2a_n-1-2（-1）ⁿ，
設(shè)a_n+a（-1）ⁿ=2（a_n-1+a（-1）^n-1），
則2a（-1）^n-1-a（-1）ⁿ=-2（-1）ⁿ，
解得，a=

2

3

，
則a_n=2a_n-1-2（-1）ⁿ可化為a_n+

2

3

（-1）ⁿ=2（a_n-1+

2

3

（-1）^n-1），
又∵a₁+

2

3

（-1）=1-

2

3

=

1

3

，
故{a_n+

2

3

（-1）ⁿ}是以

1

3

為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則a_n=

1

3

•2^n-1-

2

3

（-1）ⁿ，對(duì)a₁=1也成立；
故a_n=

1

3

•2^n-1-

2

3

（-1）ⁿ．
（2）證明：設(shè)m=4n，n∈N^*，

1

am

=

1

1 3 •24n-1- 2 3

=

6

24n-4

=

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）；
則

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

=

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

14

-

1

18

）+

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）
＜

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

6

-

1

7

）+

3

2

（

1

n+4

-

1

n+5

）
=

3

4

-

3

2

•

1

n+5

＜

3

4

＜

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列的方法，同時(shí)考查了放縮法證明不等式，屬于難題．