Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)（x>0）．（1）若b≥，求證≥（e是自然對數(shù)的底數(shù)）；（2）設(shè)F(x)=+（x≥1，a∈R），試問函數(shù)F(x)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ)  當(dāng)a≥0時(shí)，最小值為a-1，當(dāng)a<0時(shí)，最小值為．

解析:

由已知有，令，即，解得．

當(dāng)時(shí)，≥0，即f(x)在上是增函數(shù)；當(dāng) 時(shí)，<0，即f (x)在上是減函數(shù)．………4分于是由 b≥，有≥，即blnb≥．整理得 lnb^be≥，∴ ≥．  6分

（2），令=0，即lnx+a=0，解得x=．

當(dāng)≤1，即a≥0時(shí)，F(x)在上是增函數(shù)，∴ ；

當(dāng)>1，即a<0時(shí)，F(x)在[1，]上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴ ．

即F(x)存在最小值，當(dāng)a≥0時(shí)，最小值為a-1，當(dāng)a<0時(shí)，最小值為．

                   ……………………………………………………………………12分