Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣kx+2，k∈R．
（1）若k=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＜2在R+上恒成立，求k的取值范圍；
（3）若x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2 ， 求證x1+x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），

∵ ，∴0＜x＜1，

∵ ，∴x＞1

故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）

（2）解：欲使f（x）＜2lnx﹣kx＜0＜在R+上恒成立，

只需k＞ 在R+上恒成立

設(shè)g（x）= （x＞0），g′（x）= ，

x∈（0，e），g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，

x∈（e，+∞），g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，

∴x=e時，g（e）= 是最大值，

只需 ＜k，即k＞

（3）解： 由（2）可知g（x）在（0，e）上單調(diào)增，

，即 ，

同理

相加得 ，

∴ ，

得：x1+x2＞1．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為k＞ 在R+上恒成立，設(shè)g（x）= （x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出k的范圍即可；（3）根號g（x）的單調(diào)性，得到即 ， ，相加整理即可．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．