Question

如圖，邊長(zhǎng)為a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題有________．（填上所有正確命題的序號(hào)）
（1）動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
（2）三棱錐A′-FED的體積有最大值；
（3）恒有平面A′GF⊥平面BCED；
（4）異面直線A′E與BD不可能互相垂直．

Answer 1

解：過(guò)A′作A'H⊥面ABC，垂足為H，
∵△ABC為正三角形且中線AF與中位線DE相交
∴AG⊥DE A′G⊥DE，
又∵AG∩A′G=G
∴DE⊥面A′GA，
∵DE?面ABC，
∴面A′GF⊥面ABC且面A′GA∩面ABC=AF
∴H在AF上，故恒有平面A′GF⊥平面BCED，故①對(duì)③對(duì)．
S_{三棱錐A′-FED}=S_△EFD•A′H，
∵底面面積是個(gè)定值，
∴當(dāng)A′H為A′G時(shí)，三棱錐的面積最大，故②對(duì)；
在△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中異面直線A′E與BD可能互相垂直，故④不對(duì)
故答案為：（1）（2）（3）．
分析：由△ABC為正三角形可探討過(guò)A'作面ABC的垂線的垂足的位置在AF上，從而可以得到①②③，通過(guò)舉反例否定④，即可的答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，以及線面，面面垂直的判斷和性質(zhì)，同時(shí)也考查了異面直線所成角，是個(gè)基礎(chǔ)題