Question

定義：稱

n

p1+p2+…+pn

為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂，…p_n的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為

1

2n+1

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=

an

2n+1

，試判定數(shù)列{c_n}的單調(diào)性；
（3）設(shè)dn=2n•an，試求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，所以a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，a_n=S_n-S_n-1=4n-1當(dāng)n=1時(shí)也成立，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由Cn=

4n-1

2n+1

，得Cn+1-Cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，由此能判定數(shù)列{c_n}的單調(diào)性．
（3）由dn=2n•an，得Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）由已知得

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-1當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=4n-1
（2）Cn=

4n-1

2n+1

，
得Cn+1-Cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0
故數(shù)列{C_n}單調(diào)遞增；
（3）∵dn=2n•an，
∴Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n（1）2Tn=3×22+7×23+11×24+…+(4n-1)×2n+1（2）
由（1）-（2）得
-Tn=6+4×(22+23+…+2n)-(4n-1)•2n+1，
∴Tn=(4n-1)•2n+1+10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的單調(diào)性的判定，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．