Question

已知橢圓，（a＞b＞0）的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M（0，t）的直線l′（斜率存在時(shí)）與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)D為橢圓C與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，且|DP|=|DQ|，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=b²，
由直線與圓相切可知，=b即b=2
∵=
∴a²=3b²
∵a²=b²+c²
∴
∴橢圓C的方程
（2）當(dāng)直線的斜率k=0時(shí)，-2＜t＜2
k≠0時(shí)，設(shè)直線線l′的方程為y=kx+t
聯(lián)立方程可得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0
則△=36k²t²-4（1+3k²）（3t²-12）＞0，
∴t²＜4+12k²①，且x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t
取PQ中點(diǎn)H，則由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ
∵D（0，-2）
∴k=-1
∴t=1+3k²＞1②
①②聯(lián)立可得
∴t∈（1，4）
綜上，t∈（-2，4）
分析：（1）由直線與圓為x²+y²=b²，相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求b，由及a²=b²+c²可求a，進(jìn)而可求橢圓C的方程
（2）當(dāng)直線的斜率k=0時(shí)，容易求t的范圍；而k≠0時(shí)，設(shè)直線線l′的方程為y=kx+t，聯(lián)立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2t，從而可求PQ中點(diǎn)H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率關(guān)系可求t，k的方程，聯(lián)立可求t的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解