Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知Sn=

n 2   +3n

2

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足cn=

an，n為奇數(shù) 2 n   ，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．
（Ⅲ）張三同學利用第（Ⅱ）題中的T_n設計了一個程序流程圖，但李四同學認為這個程序如果被執(zhí)行會是一個“死循環(huán)”（即程序會永遠循環(huán)下去，而無法結(jié)束）．你是否同意李四同學的觀點？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用，a₁=S₁；當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1可求
（Ⅱ）根據(jù)題意需要分類討論：當n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可求
（Ⅲ） 記d_n=T_n-P，結(jié)合（II）中的求和可得d_n，進而可判斷d_n的單調(diào)性，分n為偶數(shù)，奇數(shù)兩種情況討論d_n的范圍，結(jié)合所求d_n可判斷其循環(huán)規(guī)律，從而可知判斷

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2；
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n+1，則an=n+1(n∈N*)
（Ⅱ）當n為偶數(shù)時，Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)
當n為奇數(shù)時，n-1為偶數(shù)，Tn=(a1+a3+…+an)+(22+24+…+2n-1)=

n2+4n+3

4

+

4

3

(2n-1-1)
則Tn=

n2+2n 4 + 4 3 (2n-1)，n偶數(shù) n2+4n+3 4 + 4 3 (2n-1-1)，n奇數(shù)

（Ⅲ） 記d_n=T_n-P
當n為偶數(shù)時，dn=

4

3

(2n-1)-

47n

2

，dn+2-dn=2n+2-47．
所以從第4項開始，數(shù)列{d_n}的偶數(shù)項開始遞增，而且d₂，d₄，…，d₁₀均小于2012，d₁₂＞2012，
則d_n≠2012（n為偶數(shù)）．
當n為奇數(shù)時，dn=

4

3

(2n-1-1)-23n+

3

4

，dn+2-dn=2n+1-46．
所以從第5項開始，數(shù)列{d_n}的奇數(shù)項開始遞增，而且d₁，d₃，…，d₁₁均小于2012，d₁₃＞2012，
則d_n≠2012（n為奇數(shù)）
．故李四同學的觀點是正確的．

點評：本題以程序框圖為載體綜合考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及數(shù)列的和的求解，體現(xiàn)了分類 討論思想的應用，