Question

設(shè)f（x）的定義域為D，若f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數(shù)．①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．如果為閉函數(shù)，那么k的取值范圍是（ ）
A．-1＜k≤
B．≤k＜1
C．k＞-1
D．k＜1

Answer 1

【答案】分析：首先應(yīng)根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化成：在上有兩個不等實根．然后，一方面：可以從數(shù)形結(jié)合的角度研究兩函數(shù)和y=x-k在上的交點個數(shù)問題，進而獲得問題的解答；另一方面：可以化簡方程，得關(guān)于x的一元二次方程，從二次方程根的分布情況分析亦可獲得問題的解答．
解答：解：
方法一：因為：為上的增函數(shù)，又f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，
∴，即f（x）=x在上有兩個不等實根，即在上有兩個不等實根．
∴問題可化為和y=x-k在上有
兩個不同交點．

對于臨界直線m，應(yīng)有-k≥，即k≤．
對于臨界直線n，，
令=1，得切點P橫坐標為0，
∴P（0，1），
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．
綜上，-1＜k≤．
方法二：因為：為上的增函數(shù)，又f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，
∴，即f（x）=x在上有兩個不等實根，即在上有兩個不等實根．
化簡方程，得x²-（2k+2）x+k²-1=0．
令g（x）=x²-（2k+2）x+k²-1，則由根的分布可得，即，
解得k＞-1．又，∴x≥k，∴k≤．
綜上，-1＜k≤，
故選A．
點評：本題考查的是函數(shù)的最值及其幾何意義．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了問題轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想以及函數(shù)與方程的思想．同時二次函數(shù)根的分布情況對本體的解答也有相當大的作用．值得同學(xué)們體會和反思．