Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)區(qū)間；
（II）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）已知實(shí)數(shù)x₁，x₂∈（0，1]，且x₁+x₂=1．若不等式f（x₁）•f（x₂）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)p的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）為分段函數(shù)，當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=f（2）=，此時(shí)，不是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分別得到單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）f（x）-a=0恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，等價(jià)于直線y=a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)f（x）的單調(diào)性，畫出圖象，很容易得到a的取值范圍．
（3）由已知，不等式f（x₁）•f（x₂）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）上恒成立，只需f（x₁）•f（x₂）的最大值小于x-ln（x-p）的最小值．接下來利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式求出f（x₁）•f（x₂）的最大值；利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法求x-ln（x-p）的最小值．
解答：解：（1）當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）=f（2）=是常數(shù)，不是單調(diào)函數(shù)；
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=，∴=-
當(dāng)f′（x）＜0，即x＞-1或x＜--1時(shí)，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)f′（x）＞0，即--1＜x＜-1時(shí)，f（x）為增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，2]；
單調(diào)遞增區(qū)間為[0，-1）

（2）由（1）知，
方程f（x）-a=0恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于直線y=a與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以得到a的取值范圍，
（3）f（x₁）•f（x₂）=
=
=
=
令t=x₁x₂，∵（x₁=x₂=時(shí)取等號(hào)）∴
∴
令，
∴f（x₁）•f（x₂）==，
∵上單調(diào)遞減，
∴，
∴．
設(shè)h（x）=x-ln（x-p），則h′（x）=1-，x＞p，
令h′（x）=0，得x=p+1，當(dāng)h′（x）＜0，
即p＜x＜p+1時(shí)，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)h′（x）＞0，即x＞p+1時(shí)，h（x）單調(diào)遞增，
∴h（x）min=h（p+1）=p+1．
要使不等式f（x1）•f（x2）≤x-ln（x-p）在x∈（p，+∞）時(shí)恒成立只需f（x1）•f（x2）的最大值小于p+1，
即≤p+1，得p≥，
∴p的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性；考查數(shù)形結(jié)合的能力；同時(shí)考查觀察、猜想、論證及解不等式中恒成立的含參數(shù)值的綜合能力．計(jì)算量大，需細(xì)心．