Question

已知點(diǎn)A（3，1）是直線l被雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1所截得的弦的中點(diǎn)，則直線l的方程是（　　）

A．9x-4y-23=0

B．9x+4y-31=0

C．x-4y+1=0

D．x+4y-7=0

Answer 1

分析：由題意知該直線必存在斜率，設(shè)該弦兩端點(diǎn)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用平方差法即可求得該直線方程．

解答：解：由題意知該直線必存在斜率，設(shè)該弦兩端點(diǎn)為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=6，y₁+y₂=2，
把P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，得

x12

4

-

y12

3

=1①，

x22

4

-

y22

3

=1②，
①-②得，

x12-x22

4

-

y12-y22

3

=0，即

(x1+x2)(x1-x2)

4

-

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
整理得，

y1-y2

x1-x2

=

3

4

×

x1+x2

y1+y2

=

3

4

×

6

2

=

9

4

，即k_PQ=

9

4

，
故所求直線方程為：y-1=

9

4

(x-3)，即9x-4y-23=0．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，屬中檔題，涉及弦中點(diǎn)問題，一般利用平方差法，即設(shè)出弦端點(diǎn)，把坐標(biāo)代入曲線方程，變形為關(guān)于中點(diǎn)及直線斜率的關(guān)系式．