Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求直線AB與平面PDC所成的角；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，

PE

=λ

PC

，若DE∥平面PAB，求λ的值．

Answer 1

分析：如圖，在平面ABCD內(nèi)過D作直線DF∥AB，交BC于F，分別以DA、DF、DP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）只要證明

BD

•

PC

=0，即可得到BD⊥PC；
（2）由（1）即可得到平面PDC的法向量為

DB

，求出

AB

，求出向量

DB

與

AB

的夾角，即可得到線面角；
（3）先求出平面PAB的法向量

n

，若DE∥平面PAB，則

n

•

DE

=0，即可得出λ．

解答：解：如圖，在平面ABCD內(nèi)過D作直線DF∥AB，交BC于F，分
別以DA、DF、DP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）證明：設(shè)PD=a，得B(1，

3

，0)，P（0，0，a），C(-3，

3

，0)，
則

BD

=(-1，-

3

，0)，

PC

=(-3，

3

，-a)，
∵

BD

•

PC

=3-3=0，
∴BD⊥PC．
（2）由（1）知BD⊥面PDC， 

DB

就是平面PDC的法向量．
由條件知A（1，0，0），B（1，

3

，0），

AB

=(0，

3

，0) ， 

DB

=(1，

3

，0)．
設(shè)AB與面PDC所成角大小為θ，
則sinθ=

|DB • AB |

| DB |•| AB|

=

3

2 3

=

3

2

．
∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，
即直線AB與平面PDC所成角為60°．
（3）由（2）知C（-3，

3

，0），記P（0，0，a），
則

AB

=(0 ， 

3

 ， 0)，

DP

=(0 ， 0 ， a)，

PA

=(1，0，-a)，

PC

=(-3 ， 

3

 ，-a)，
而

PE

=λ

PC

，∴

PE

=(-3λ ， 

3

λ ，aλ)，

DE

=

DP

+

PE

=

DP

+λ

PC

=(0，0，a)+(-3λ ， 

3

λ ，-aλ)=(-3λ ， 

3

λ ，a-aλ)．
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PAB的法向量，則

AB • n =0 PA • n =0

，即

3 y=0 x-az=0

，即

y=0 x=az

．
取z=1，得x=a，進(jìn)而得

n

=(a ， 0 ， 1)，
由DE∥平面PAB，得

DE

•

n

=0，∴-3aλ+a-aλ=0，而a≠0，∴λ=

1

4

．

點(diǎn)評：熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、平面PDC的法向量為

DB

與斜線

AB

的夾角得到線面角、DE∥平面PAB?

n

•

DE

=0等是解題的關(guān)鍵．