Question

假設(shè)某市2004年新建住房面積400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%，另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米，那么，到哪一年底，
（1）該市歷年所建中低價(jià)層的累計(jì)面積（以2004年為累計(jì)的第一年）將首次不少于4750萬(wàn)平方米？
（2）當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數(shù)列，求得首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得S_n，進(jìn)而根據(jù)S_n≥4750，求得n的最小值．
（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數(shù)列，根據(jù)題意可求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而a_n＞0.85b_n，求得n的最小正整數(shù)．
解答：解：（1）設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數(shù)列，
其中a₁=250，d=50，
則S_n=250n+=25n²+225n，
令25n²+225n≥4750，
即n²+9n-190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10，
∴到2013年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米．

（2）設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數(shù)列，
其中b₁=400，q=1.08，
則b_n=400•（1.08）^n-1，
由題意可知a_n＞0.85b_n，有250+（n-1）•50＞400•（1.08）^n-1•0.85，
由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6，
到2009年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是利用題設(shè)條件判斷出數(shù)列的類型，根據(jù)等差或等比數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解決．