Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一組底邊長為a_n的等腰直角三角形A_nB_nC_n（n=1，2，3，…），底邊B_nC_n依次放置在y軸上（相鄰頂點重合），點B₁的坐標(biāo)為（0，b），b＞0．
（1）若A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一條直線上，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若a₁是正整數(shù)，A₁，A₂，A₃，…，A_n依次在函數(shù)y=x²的圖象上，且前三個等腰直角三角形面積之和不大于，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先分析A_n 點的坐標(biāo)，借助于A₁，A₂，A₃，…，A_n在同一條直線上，得到斜率相等，從而得出a₂ⁿ=a_n-1a_n+1，故可證數(shù)列 {a_n}是等比數(shù)列；（2）由題意，進(jìn)而再寫一式兩式作差，可得a_n-a_n-1=2，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式．
解答：解：（1）A_n 點的坐標(biāo)為，
  根據(jù)=，則 =，∴a_n²=a_n-1a_n+1，所以數(shù)列 {a_n}是等比數(shù)列．         
（2）依題意，，
兩式作差，則有：，∴a_n-a_n-1=2
，又前三個等腰直角三角形面積之和不大于，故a₁²+（a₁+2）²+（a₁+4）²≤86，∴a₁=1，2，3
A₁在函數(shù)y=x²的圖象上∴，b＞0∴a₁=3，數(shù)列{a_n}的通項公式∴a_n=2n+1
點評：本題求解的關(guān)鍵是題意得挖掘，利用點共線，轉(zhuǎn)化為斜率相等，利用前三個等腰直角三角形面積之和不大于，尋求數(shù)列的通項