若x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），則函數(shù)f（x）


  1. A.
    f（0）=0且f（x）為奇函數(shù)
  2. B.
    f（0）=0且f（x）為偶函數(shù)
  3. C.
    f（x）為增函數(shù)且為奇函數(shù)
  4. D.
    f（x）為增函數(shù)且為偶函數(shù)
A
分析：根據(jù)已知中對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，得f（0）=0，令y=-x，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，即可得到結(jié)論．
解答：∵對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
故選A．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查賦值法的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）（x、y∈R）且f(1)=
1
2
，
（1）當n∈N+時，求f（n）的表達式；
（2）設an=n•f(n)，n∈N+，若Sn=a1+a2+a3+…+an，求證Sn＜2
（3）設bn=
n•f(n+1)
f(n)
(n∈N+)，Tn為{bn}的前n項和，求
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省期末題 題型：單選題

若x，y∈R，且f(x+y)=f(x)+f(y)，則函數(shù)f(x)
[     ]
A．f(0)=0且f(x)為奇函數(shù)
B．f(0)=0且f(x)為偶函數(shù)
C．f(x)為增函數(shù)且為奇函數(shù)
D．f(x)為增函數(shù)且為偶函數(shù)

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