Question

求證：e^x≥x+1．

Answer 1

證明：（1）當x=0時，e^x=1，x+1=1，命題成立；
（2）當x＞0時，令f（x）=e^x-x-1，
則f′（x）=e^x-1＞0∴f（x）在（0，+∞）上為增函數
∵x＞0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1；
（3）當x＜0時，令f（x）=e^x-x-1，
則f′（x）=e^x-1＜0∴f（x）在（-∞，0）上為減函數
∵x＜0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1
綜合以上情況，e^x≥x+1．
分析：對x分3種情況進行分析，x=0代入顯然成立；x＞0和x＜0時令f（x）=e^x-x-1，根據其單調性進行證明．
點評：本題主要考查指數函數的單調性問題．指數函數的單調性不僅僅會根據其圖象還要會由導數的正負值來判斷，當導數大于0時原函數單調遞增，當導數小于0時原函數單調遞減．