Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+

1

4

與直線y=x相切于點(diǎn)A（1，1），若對(duì)任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)t組成的集合為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由切線方程得到a，b的方程，即可得到f（x）的表達(dá)式，則不等式f（x-t）≤x即為

1

4

（x-t+1）²≤x，由于任意的x∈[1，9]，則有|x-t+1|≤2

x

，即有-2

x

-x≤1-t≤2

x

-x，
分別求出兩邊的最值，令1-t不大于最小值且不小于最大值，解出即可得到．

解答： 解：函數(shù)f（x）=ax²+bx+

1

4

的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax+b，
由于函數(shù)f（x）=ax²+bx+

1

4

與直線y=x相切于點(diǎn)A（1，1），
則2a+b=1，且a+b+

1

4

=1，解得a=

1

4

，b=

1

2

，
即有f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

即為f（x）=

1

4

（x+1）²，
不等式f（x-t）≤x即為

1

4

（x-t+1）²≤x，
由于任意的x∈[1，9]，則有|x-t+1|≤2

x

，
即有-2

x

-x≤1-t≤2

x

-x，
令

x

=m∈[1，3]，則2

x

-x=2m-m²=-（m-1）²+1∈[-3，1]，
-2

x

-x=-2m-m²=-（m+1）²+1∈[-15，-3]，
則有-3≤1-t≤-3，即有1-t=-3，即t=4．
故答案為：{4}

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，注意運(yùn)用參數(shù)分離，屬于中檔題．