Question

如圖，一邊長為48cm的正方形鐵皮，在它的四角上切去相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：計算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)箱底邊長為xcm，結(jié)合題意可得容積V（x）=

1

2

（48x²-x³）（0＜x＜48）．再用導(dǎo)數(shù)工具研究V（x）在區(qū)間（0，48）上的單調(diào)性，可知當(dāng)x=40時V（x）達(dá)到最大值．由此得到本題答案．

解答： 解：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高h(yuǎn)=

48-x

2

，
∴箱子容積V（x）=x²h=

1

2

（48x²-x³）（0＜x＜48）．
求導(dǎo)數(shù)，得V′（x）=48x-

3

2

x²，
令V′（x）=0，解得x=0（不合題意，舍去），x=32，
∵x∈（0，32）時，V′（x）＞0；x∈（32，48）時，V′（x）＜0，
∴V（x）在區(qū)間（0，32）上為增函數(shù)，區(qū)間（32，48）上為減函數(shù)，
由此可得V（x）的最大值是V（32）=8192．
故箱底的邊長是32cm時，箱子的容積最大，最大容積是8192cm³．

點(diǎn)評：本題以一個實際問題為例，求鐵箱的容積最大值．著重考查了函數(shù)模型及其應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求最值等知識，屬于中檔題．