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(理科)已知函數f(x)=
-x3+ax2+bx,(x<1)
clnx,(x≥1)
的圖象在點(-2,f(-2))處的切線方程為16x+y+20=0
(1)求實數a、b的值
(2)曲線y=f(x)上存在兩點M、N,使得△MON是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊MN的中點在y軸上,求實數c的取值范圍
(3)當c=e時,討論關于x的方程f(x)=kx(k∈R)的實根個數.
分析:(1)求導函數,利用函數圖象在點(-2,f(-2))處的切線方程為16x+y+20=0,建立方程組,即可求得實數a、b的值;
(2)設出M,N的坐標,分類討論,利用MN的中點在y軸上,且
OM
ON
=0
,即可求實數c的取值范圍;
(3)就x≠0時進行研究,方程等價于k=
-x2+x,(x<1且x≠0)
elnx
x
,(x≥1)
,利用函數的圖象,分類討論,即可得到結論.
解答:解:(1)當x<1時,f'(x)=-3x2+2ax+b.
∵函數圖象在點(-2,f(-2))處的切線方程為16x+y+20=0.
∴切點坐標為(-2,12),則有
f(-2)=8+4a-2b=12
f′(-2)=-12-4a+b=-16

解得a=1,b=0…(3分)
(2)由(1)得f(x)=
-x3+x2,(x<1)
clnx,(x≥1)
,根據條件M,N的橫坐標互為相反數,不妨設M(-t,t3+t2),N(t,f(t)),(t>0).
①若t<1,則f(t)=-t3+t2,由∠MON是直角得,
OM
ON
=0
,即-t2+(t3+t2)(-t3+t2)=0,t4-t2+1=0.(無解)
②若t≥1,則f(t)=clnt.
由于MN的中點在y軸上,且
OM
ON
=0
,點N不能在x軸上,即t≠1.
OM
ON
=0
,-t2+(t3+t2)•clnt=0,分離參數得到g(t)=
1
(t+1)lnt

∵函數g(t)=
1
(t+1)lnt
(t>1)的值域是(0,+∞)
∴c的取值范圍是(0,+∞)…(7分)
(3)方程f(x)=kx,即kx=
-x3+x2,(x<1)
elnx,(x≥1)
,可知0一定是方程的根,
所以僅就x≠0時進行研究,方程等價于k=
-x2+x,(x<1且x≠0)
elnx
x
,(x≥1)

k(x)=
-x2+x,(x<1且x≠0)
elnx
x
,(x≥1)
…(8分)
下面研究函數k(x)的性態(tài),進而畫出其大致圖象.
對于x<1且x≠0部分,函數k(x)=-x2+x的圖象是開口向下的拋物線的一部分,當x=
1
2
時取得最大值
1
4
,其值域是(-∞,0)∪(0,
1
4
]
;
對于x≥1部分,函數k(x)=
elnx
x
,令k′(x)=
e-elnx
x2
=0
,得x=e,
所以函數k(x)在(1,e)上單調遞增,在(e,+∞)上單調遞減,所以k(x)在x=e時取得最大值1,其值域是[0,1],k(1)=0,并且當x無限增大時,其圖象在x軸上方向右無限接近x軸但永遠也達不到x軸…(10分)
因此可畫出函數k(x)的圖象的示意圖如下:

可得:
①當k>1時,方程f(x)=kx只有唯一實根0;
②當k=1或者k≤0時,方程f(x)=kx有兩個實根;
③當
1
4
<k<1
時,方程f(x)=kx有三個實根;
④當k=
1
4
時,方程f(x)=kx有四個實根;
⑤當0<k<
1
4
時,方程f(x)=kx有五個實根;…(12分)
點評:本題考查導數知識的運用,考查分類討論的數學思想,考查向量知識的運用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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m
2
]
在區(qū)間(t,3)上有最值,求實數m取值范圍;
(3)求證:ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+…+ln(n2+1)<1+2lnn!(n≥2,n∈N*
(文科) 已知函數f(x)=ax3+
1
2
x2-2x+c

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1
2
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1
e
,e]
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a+b
2
)>0

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(3-a)x-3,(x≤7)
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(2,3)
(2,3)

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