Question

函數(shù)，定義f（x）的第k階階梯函數(shù)，其中k∈N^*，f（x）的各階梯函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P_k（a_k，b_k）．
（1）直接寫出不等式f（x）≤x的解；
（2）求證：所有的點(diǎn)P_k在某條直線L上．

Answer 1

【答案】分析：（1）按分段函數(shù)分段標(biāo)準(zhǔn)討論x，然后解不等式f（x）≤x即可；
（2）先求出函數(shù)f_k（x）的解析式，然后研究函數(shù)f_k（x）的單調(diào)性，從而得到f（x）的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P_k的坐標(biāo)，然后求出過(guò)P_kP_k+1這兩點(diǎn)的直線的斜率和過(guò)P_k+1P_k+2這兩點(diǎn)的直線的斜率，可證得所有的點(diǎn)P_k在某條直線L上．
解答：解：（1）當(dāng)x∈[0，）時(shí)，f（x）=x+＞x，故不等式f（x）≤x無(wú)解；
x∈[，1]時(shí)，f（x）=2（1-x）≤x，解得x∈
故不等式f（x）≤x的解為------------------（4分）
（2）∵，k∈N^*-------------------（6分）
第一段函數(shù)是增函數(shù)，第二段是減函數(shù)
∴f（x）的第k階階梯函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為，-------------------（7分）
第k+1階階梯函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為
所以過(guò)P_kP_k+1這兩點(diǎn)的直線的斜率為．------------------（8分）
同理可得過(guò)P_k+1P_k+2這兩點(diǎn)的直線的斜率也為．
所以f（x）的各階階梯函數(shù)圖象的最高點(diǎn)共線．
直線方程為即2x+4y-5=0-------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．