Question

11．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到直線x=4的距離是它到點(diǎn)Q（1，0）的距離的2倍
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡D的方程；
（2）若點(diǎn)A是曲線D與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，C是曲線上的另一點(diǎn)，直線AC的垂直平分線是l，直線l與y軸的交點(diǎn)是N（0，y₀），且滿足NA⊥NC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線x=4的距離之比為$\frac{1}{2}$，建立方程，化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）先運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線垂直的條件：斜率之積為-1，求出l的方程，可得N的坐標(biāo)，再利用$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NC}$=0，即可求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意得：2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x-4|，
兩邊平方，4（x²+y²-2x+1）=x²-8x+16，
化簡(jiǎn)可得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
∴點(diǎn)P的軌跡D的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)C（x₁，y₁）（y₁≠0），且A（-2，0），
則AC的中點(diǎn)M（$\frac{{x}_{1}-2}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
由已知k_AC=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，則k_l=-$\frac{{x}_{1}+2}{{y}_{1}}$，
∴l(xiāng)：y-$\frac{{y}_{1}}{2}$=-$\frac{{x}_{1}+2}{{y}_{1}}$（x-$\frac{{x}_{1}-2}{2}$），
令x=0，則y₀=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-4+{{y}_{1}}^{2}}{2{y}_{1}}$=-$\frac{{y}_{1}}{6}$，
即N（0，-$\frac{{y}_{1}}{6}$），
∴$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NC}$=（-2，$\frac{{y}_{1}}{6}$）•（x₁，$\frac{7{y}_{1}}{6}$）=-2x₁+$\frac{7{{y}_{1}}^{2}}{36}$=0，
∴7x₁²+96x₁-28=0
∴x₁=$\frac{2}{7}$（x₁=-14舍去），
∴y₁=±$\frac{12}{7}$，
∴C（$\frac{2}{7}$，±$\frac{12}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．