Question

已知定義在同一個區(qū)間（，）上的兩個函數(shù)f（x）=x²-2alnx，g（x）=x³-bx²+x在x=x處的切線平行于x軸．
（1）求實數(shù)a和b的取值范圍；
（2）試問：是否存在實數(shù)x₁，x₂，當(dāng)x₁，x，x₂成等比數(shù)列時，等式f（x₁）+f（x₂）=2g（x）成立？若成立，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）在x=x處的切線平行于x軸可知f′（x）=0的解在區(qū)間（，）上，可求出a的取值范圍，然后根據(jù)g′（x）=0將b用a表示，根據(jù)a的范圍可求出b的取值范圍；
（2）假設(shè)存在實數(shù)x₁，x₂∈（，）則x₁•x₂=a，根據(jù)f當(dāng)x₁，x，x₂成等比數(shù)列時等式（x₁）+f（x₂）=2g（x）成立建立等式關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從得到（x₁-x₂）²＜0，從而可得結(jié)論．
解答：解：（1）f′（x）=2x-令f′（x）=0
∵a＞0∴x=
∵＜＜
∴＜a＜
g′（x）=3x²-2bx+1
令g′（x）=0得3a-2b+1=0
∴b==（3+）
∵＜t=＜
∴（3t+）在（，）上單調(diào)遞減則b∈（，）
（2）假設(shè)存在實數(shù)x₁，x₂∈（，）則x₁•x₂=a
由題意得x₁²+x₂²-2alnx₁-2alnx₂=-a+
x₁²+x₂²-2x₁•x₂=2alna-a+-2a
令φ（a）=2alna-a+-2a  （＜a＜）
φ′（a）=2lna+-
φ‘’（a）=
∴φ′（a）在（，）上是增函數(shù)
∴φ′（a）＜φ′（）=2ln-＜0
∴φ（a）在（，）上是減函數(shù)
∴φ（a）＜φ（）=ln+--＜0
∴（x₁-x₂）²＜0
即不存在滿足條件的x₁與x₂．
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于難題．