Question

設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線-=1（a＞0，b＞0）的焦點，若在雙曲線上存在點P，滿足∠F₁PF₂=60°，|OP|=a，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．x±y=0
B．x±y=0
C．x±y=0
D．x±y=0

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)|F₁P|=x，進而分別根據(jù)中線定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，求得a和c的關(guān)系，進而根據(jù)b=求得a和的關(guān)系進而求得漸進線的方程．
解答：解：假設(shè)|F₁P|=x
OP為三角形F₁F₂P的中線，
根據(jù)三角形中線定理可知
x²+（2a+x）²=2（c²+7a²）
整理得x（x+2a）=c²+5a²
由余弦定理可知
x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²
整理得x（x+2a）=14a²-2c²
進而可知c²+5a²=14a²-2c²
求得3a²=c²
∴c=a
b=a
那么漸近線為y=±x，即x±y=0
故選D
點評：本題將解析幾何與三角知識相結(jié)合，主要考查了雙曲線的定義、標準方程，幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程，以及斜三角形的解法，屬中檔題