Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+blnx（x＞0，實數(shù)a，b為常數(shù)）．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若a+b=-2，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)的根，判斷導(dǎo)函數(shù)左右兩邊的符號，得函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)極值的定義求出極值．
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)的根，討論根在不在定義域內(nèi)；若根在定義域內(nèi)，討論兩根的大��；判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號，據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系求出單調(diào)性．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+x-lnx，則f′（x）=2x+1-，
令f′（x）=0，得x=-1（舍去），x=．
當(dāng)0＜x＜時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
∴f（x）在x=處取得極小值+ln2．

（Ⅱ）由于a+b=-2，則a=-2-b，從而f（x）=x²-（2+b）x+blnx，
則f′（x）=2x-（2+b）+=
令f′（x），得x₁=，x₂=1．
1、當(dāng)≤0，即b＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
2、當(dāng)0＜＜1，即0＜b＜2時，列表如下：
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（，1）；
3、當(dāng)=1，即b=2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
4、當(dāng)＞1，即b＞2時，列表如下：

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，）；
綜上：當(dāng)≤0，即b＜0時，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），
單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)0＜＜1，即0＜b＜2時，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（，1）；
當(dāng)=1，即b=2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)＞1，即b＞2時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為（1，）．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)：求極值，求單調(diào)區(qū)間．考查分類討論時注意分類的起點．