Question

如圖所示，ABCD是邊長為a的正方形，△ABP是以角B為直角的等腰三角形．
（1）H為BD上一點，且AH⊥平面PDB，求證：平面ABCD⊥平面APB；
（2）若PC=

3

a，求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由AH⊥平面PDB，知AH⊥PB，由△ABP是以角B為直角的等腰三角形，知AB⊥PB，由此能夠證明平面ABCD⊥平面APB．
（2）由PC=

3

a，ABCD是邊長為a的正方形，△ABP是以角B為直角的等腰三角形，平面ABCD⊥平面APB，知BC⊥平面APB，以BA為x軸，以BP為y軸，以BC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PD-B的余弦值．

解答：解：（1）∵AH⊥平面PDB，PB?平面PDB，
∴AH⊥PB，
∵△ABP是以角B為直角的等腰三角形，
∴AB⊥PB，
∵AH∩AB=A，
∴AB⊥平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面APB．
（2）∵PC=

3

a，ABCD是邊長為a的正方形，
△ABP是以角B為直角的等腰三角形，
平面ABCD⊥平面APB，
∴BC⊥平面APB，
以BA為x軸，以BP為y軸，以BC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（a，0，0），P（0，a，0），D（a，0，a），B（0，0，0），
∴

BP

=(0，a，0)，

BD

=(a，0，a)，

AP

=(-a，a，0)，

AD

=(0，0，a)，
設(shè)平面BPD的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，則

BP

•

n1

=0，

BD

•

n1

=0，
∴

ay1=0 ax1+az1=0

，∴

n1

=(1，0，-1)，
設(shè)平面APD的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

AP

•

n2

=0，

AD

•

n2

=0，
∴

-ax2+ay2=0 az2=0

，∴

n2

=（1，1，0），
設(shè)二面角A-PD-B的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

1

2 × 2

|=

1

2

．
∴二面角A-PD-B的余弦值為

1

2

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化和向量法的合理運(yùn)用．