Question

“5•12”汶川大地震中，受災(zāi)面積大，傷亡慘重，醫(yī)療隊(duì)到達(dá)后，都會(huì)選擇一個(gè)合理的位置，使傷員能在最短的時(shí)間內(nèi)得到救治．設(shè)有三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別位于一個(gè)矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處，AB=10km，BC=5km，現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內(nèi)（含邊界），且與A，B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)醫(yī)療站，記O點(diǎn)到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為y．
（1）設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示為θ的函數(shù)；
（2）試?yán)�用�?）的函數(shù)關(guān)系式確定醫(yī)療站的位置，使三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)到醫(yī)療站的距離之和最短．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函數(shù)的關(guān)系可推得OP，從而得出y的函數(shù)關(guān)系式，注意最后要化為最簡形式，確定自變量范圍．
（2）欲確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短也就是最小值問題，（1）中已求出函數(shù)關(guān)系式，故可以利用導(dǎo)數(shù)求解最值，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合．

解答：解：（1）：延長PO，交AB于Q，由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則 OA=

AQ

cosθ

=

5

cosθ

，故 OB=

5

cosθ

，又OP=5-5tanθ，
所以 y=OA+OB+OP=y=

10-5sinθ

cosθ

+5(0≤θ≤

π

4

)；
（2）y′=

-5cosθ•cosθ-(10-5sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

5(2sinθ-1)

cos2θ

，令y′=0得sin θ=

1

2

，因?yàn)?0＜θ＜

π

4

，所以θ=

π

6

，當(dāng) θ∈(0，

π

6

)時(shí)，y′＜0，y是θ的減函數(shù)；當(dāng) θ∈(

π

6

，

π

4

)時(shí)，y′＞0，y是θ的增函數(shù)，所以當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，ymin=5+5

3

．這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB邊

5 3

3

km處．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用．
①生活中的優(yōu)化問題，往往涉及到函數(shù)的最值，求最值可利用單調(diào)性，也可直接利用導(dǎo)數(shù)求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合．用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大（�。┲禃r(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)．