Question

如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥CB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：AB²=AG·BF；

（2）證明EG與⊙O相切，并求AG、BF的長(zhǎng).

Answer 1

思路解析：由正五邊形的特征，易得到△EAG∽△FBC；連結(jié)EF，易證EF⊥EG，再用切割線定理完成計(jì)算.

證明：（1）易證五邊形ABCDE的外角∠FCB＝∠EAG＝∠FBC，

∵EG∥CB，∴∠G＝∠FBC.

∴△EAG∽△FBC.

∴，即BC·AE=AG·BF.

又∵BC＝AE＝AB，

∴AB²＝AG·BF.              ①

（2）連結(jié)EF，由（1）可知FB＝FC，即△FBC為等腰三角形，易知BA＝CD，

∴FA＝FD.

∴EF⊥BC且EF平分BC.

∴EF過圓心O.

又∵EG∥CB，∴EF⊥EG.

∴EG與⊙O相切.

∴EG²＝AG·BG.

由（1）可知∠G＝∠EAG，

∴EG＝EA＝2.

設(shè)AG＝x，則2²＝x(x+2).解得x＝-1.

∴AG＝-1.代入①中可得BF＝+1.