已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦距是2,離心率是0.5;
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:過點A(1,2)傾斜角為45°的直線l與橢圓C有兩個不同的交點;又記這兩個交點為P、Q,試求出線段PQ的中點M的坐標.
考點:橢圓的簡單性質(zhì)
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)直接根據(jù)焦距是2,離心率是0.5;求出c=1,a=2,再根據(jù)a,b,c之間的關(guān)系求出b;即可求橢圓的方程;
(2)把直線方程和橢圓方程聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,只要對應(yīng)的判別式大于0即可說明結(jié)論.
解答: (1)解:由題意2c=2,∴c=1,…(2分)
由離心率是0.5,得a=2,∴b=
3
.…(4分)
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.    …(6分)
(2)證明:直線l:y-2=tan45°(x-1),即y=x+1.…(8分)
代入
x2
4
+
y2
3
=1
,整理得:7x2+8x-8=0.…(10分)
∵△=82-4×7×(-8)=288>0…(11分)
∴過點A(1,2)傾斜角為45°的直線l與橢圓有兩個不同的交點.   
線段PQ的中點M的橫坐標為-
4
7
,縱坐標為
3
7
,即M(-
4
7
3
7
).…(14分)
點評:本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用和直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題目,解題時要注意性質(zhì)的靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知某產(chǎn)品的成本是4元/件,該產(chǎn)品的銷售單價x(元)與銷售量y(件)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:
銷售單價x(元)8.08.28.48.68.89.0
銷售量y(件)908483807568
根據(jù)圖表可得回歸方程
y
=bx+a中的b為-20,據(jù)此模型預(yù)測,當銷售單件定為8.5元/件時,銷售該產(chǎn)品所得的利潤是(  )
A、680元B、360元
C、367元D、365元

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如圖,四邊形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°,BE=EF.連接DF,G為DF的重點,連接EG,CG,EC,求證:|
EG
|=|
CG
|,
EG
CG

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若方程
x+2
+k=x有兩個根,求k的取值范圍.

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二階矩陣A,B對應(yīng)的變換對圓的區(qū)域作用結(jié)果如圖所示.
(Ⅰ)請寫出一個滿足條件的矩陣A,B;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)果,計算C=BA,并求出曲線x-y-1=0在矩陣C對應(yīng)的變換作用下的曲線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A、B、C是△ABC的三內(nèi)角,向量
m
=(-1,
3
),
n
=(cosA,sinA),且
m
n
=1,
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3,求cosC.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2x-2ln(1+x).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當x∈[
1
e
-1,e-1]時,是否存在整數(shù)m,使不等式m<f(x)≤-m2+2m+e2恒成立?若存在,求整數(shù)m的值;若不存在,則說明理由.

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已知矩陣M=
2a
21
,其中a∈R,若點P(1,-2)在矩陣M的變換下得到點P(-4,0).
(Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量.

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求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)y=
1
x
•cosx;
(2)y=x•lnx.

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