Question

用數學歸納法證明凸n邊形的對角線的條數f(n)=n(n-3)(n≥3).

Answer 1

分析：證明幾何問題,一定要弄清從n=k到n=k+1時,新增加的量是多少.一般地,證明第二步時,常用的方法是加一法,即在原來k的基礎上,再增加1個,也可以從k+1個中分出1個來,剩下的k個利用假設.

證明：(1)當n=3時,f(3)=0,因為三角形沒有對角線,所以命題成立.

(2)假設n=k時(k≥3),f(k)=k(k-3)成立,當n=k+1時,凸k+1邊形由原來的k個頂點變?yōu)閗+1個頂點,由幾何知識可知對角線條數增加k-1條,

即f(k+1)=f(k)+k-1=k(k-3)+k-1=(k²-3k+2k-2)= (k+1)(k-2)= (k+1)［(k+1)-3］,所以當n=k+1時,命題成立.

由(1)(2)可知,命題對于任何n∈N^*,且n≥3都成立.