Question

如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點(diǎn),,.

(1)設(shè)是的中點(diǎn),證明:平面;
(2)證明:在內(nèi)存在一點(diǎn),使平面,并求點(diǎn)到,的距離.

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析， (2) 到,的距離為.

解析試題分析：(1) 證明線面平行，關(guān)鍵在于找出線線線平行.本題中點(diǎn)較多，易從中位線上找平行.取線段
中點(diǎn)，連接則所以為平行四邊形，因此運(yùn)用線面平行判定定理時(shí)，需寫
全定理所需所有條件.(2) 在內(nèi)找一點(diǎn)，利用空間向量解決較易. 利用平面平面,建立空間直角坐標(biāo)系O,點(diǎn)M的坐標(biāo)可設(shè)為.利用平面，可解出，但需驗(yàn)證點(diǎn)M滿足的內(nèi)部區(qū)域，再由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到,的距離為.
試題解析：證明:(1)如圖,連結(jié)OP,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系O, 則,由題意得,因,因此平面BOE的法向量,得,又直線不在平面內(nèi),因此有平面       6分
(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,則,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/4/39gqp.png" style="vertical-align:middle;" />平面BOE,所以有,因此有,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為,在平面直角坐標(biāo)系中,的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組,經(jīng)檢驗(yàn),點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組,所以在內(nèi)存在一點(diǎn),使平面,由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到,的距離為.       12分

考點(diǎn)：線面平行判定定理，空間向量研究線面垂直