Question

已知橢圓=1(a>0,b>0)的離心率e=，過點A(0，－b)和B(a,0)的直線與原點的距離為。

(1)求橢圓方程；

(2)已知定點E(－1,0)，若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點，試判斷：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過點E?若存在，求出這個值；若不存在。說明理由。

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)e=， ∴ 即a2=3b2, 過A（0，－b）,B(a,0)的直線為 把a=b代入，即x－y－b=0 由已知，得 解得b=1 ∴a= ∴所求方程為等。 (2)設C(x1,y1)，D(x2,y2) 解 消去y，得 (1+3k2)x2+12kx+9=0。 必須l+3k2≠0且△>0， 即(12k)2－36(1+3k2)>0 ∴k<－1或k>1                              ① 要存在k的值使以CD為直徑的圓過點E。即要使CE⊥DE，即要使k滿足①且使即要使xlx2+xl+x2+1+yly2=0。     ② ∵yl=kx1+2，y2=kx2+2， ∴②式即(1+k2)xlx2+(2k+1)(xl+x2)+5=0         ③ ∵x1+x2= 代入③得 9k2+9－24k2－12k+5+15k2=0， ∴k= 又∵k=滿足① ∴存在k的值使以CD為直徑的圓過E點，這個k值是。