Question

在如圖所示的空間幾何體中，△ABC，△ACD都是等邊三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC。

（1）求證：DE⊥平面ACD；
（2）若AB=BE=2，求多面體ABCDE的體積。

Answer 1

（1）證明：△ABC，△ACD都是等邊三角形， AE=CE， 取AC中點(diǎn)O，連接BO，DO，EO， 則BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC， ∵EOBO=O， ∴AC⊥平面OBF， 作EF⊥BO于點(diǎn)F，則AC⊥EF， ∵ACBO=O， ∴EF⊥平面ABC， ∵平面ACD⊥平面ABC， ∴DO⊥平面ABC，BO⊥平面ACD， ∴DO∥EF， ∴ODEF是平面四邊形， ∵DE∥平面ABC， ∴OE∥OF，即DE∥OB， ∴DE⊥平面ACD。
（2）解：由EF//DO，DE//OF，知DE=OF，EF=DO， 又AB=BE=2，△ABC，△ACD都是等邊三角形，EF⊥BO， ∴， ∵DE⊥平面ACD， ∴三棱錐E-DAC的體積， 又三棱錐E-ABC的體積， ∴多面體ABCDE的體積為。