Question

設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上, 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，
（1）當(dāng)時(shí)，
（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線上時(shí)，求直線與的夾角;
（2） 當(dāng)時(shí)，若總有，猜想:當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)是否在某定直線上，若是寫出該直線方程（不必求解過程）．

Answer 1

（1），（2）．

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的方程、兩直線垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力．第一問，（ⅰ）利用橢圓的定義及離心率列出方程，得到橢圓方程中的基本量a，b，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ⅱ）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)、設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P在橢圓上且在直線上，得到的值，從而得到和，由于Q點(diǎn)是直線與y軸的交點(diǎn)，所以先得到直線的方程，再得到Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到，由于，所以判斷F₁P⊥F₁Q；第二問，由第（ⅱ）問的證明，可以猜想方程．
試題解析：（1）（1） ，，，解得＝．故橢圓E的方程為．     4分
（2）設(shè)， ，，其中．由題設(shè)知，
將直線代入橢圓E的方程，由于點(diǎn)在第一象限，解得      6分
則直線F₁P的斜率＝，直線F₂P的斜率＝，
故直線F₂P的方程為y＝．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，
即點(diǎn)Q坐標(biāo)為．因此，直線F₁Q的斜率為＝．
所以＝＝－1．
所以F₁P⊥F₁Q，                           10分
（2）點(diǎn)P過定直線，方程為         13分