Question

已知對(duì)角線互相垂直且面積為5的四邊形，其頂點(diǎn)都在半徑為3的圓上，設(shè)圓心到兩對(duì)角線的距離分別為d₁，d₂，則d₁+d₂的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)對(duì)角線互相垂直的四邊形兩對(duì)角線分別為a，b，利用圓的性質(zhì)得出圓心到兩對(duì)角線的距離分別為d₁，d₂，得出d₁+d₂的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)隱含條件求出此函數(shù)的定義域，畫出其圖象，利用函數(shù)的圖象研究它的最大值．
解答：解：設(shè)兩對(duì)角線分別為a，b．如圖．
d₁=
d₂=，
四邊形面積為5=ab，
∴ab=10．
∴得d₁+d₂=+，
又對(duì)角線a、b的交點(diǎn)應(yīng)在圓內(nèi)，即d₁²+d₂²=OP²＜r²=3²，
代入d₁=，d₂=，ab=10．全部化為同一個(gè)變量a即為（9-a²）+（9-）＜9，
解得a²∈（-∞，18-4）∪（18+4，+∞），
又對(duì)角線a＞0，即得a∈（0，-2）∪（+2，+∞），
與函數(shù)自身的定義域[，6]，取交集后得a的取值范圍，
即函數(shù)符合題意的實(shí)際定義域?yàn)閇，-2）∪（+2，6]．
作出函數(shù)y=+（a∈[，-2）∪（+2，6]）的圖象，如圖．
從圖中可以看出，當(dāng)a→-2，或a→+2時(shí)，y=+取得極大值．
故d₁+d₂的取值范圍為[，），右端為開區(qū)間，無最大值．
故答案為：無（或是一道錯(cuò)題）．
點(diǎn)評(píng)：本題想考查進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理，考查圓的性質(zhì)，可惜在于沒有注意到題中隱含的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤，屬于錯(cuò)題．