Question

有n個首項都是1的等差數(shù)列，設(shè)第m個數(shù)列的第k項為a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差數(shù)列．若d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多項式），則p₁+p₂=

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先根據(jù)首項和公差寫出數(shù)列的通項公式，利用通項公式表示出數(shù)列a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn中的第項減第2項，第3項減第4項，…，第n項減第n-1項，由此數(shù)列也為等差數(shù)列，得到表示出的差都相等，進而得到d_n是首項d₁，公差為d₂-d₁的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式表示出d_m的通項，令p₁=2-m，p₂=m-1，得證，求出p₁+p₂即可．

解答： 解：由題意知a_mn=1+（n-1）d_m．
則a_2n-a_1n=[1+（n-1）d₂]-[1+（n-1）d₁]=（n-1）（d₂-d₁），
同理，a_3n-a_2n=（n-1）（d₃-d₂），a_4n-a_3n=（n-1）（d₄-d₃），…，a_nn-a_（n-1）n=（n-1）（d_n-d_n-1）．
又因為a_1n，a_2n，a_3n，a_nn成等差數(shù)列，所以a_2n-a_1n=a_3n-a_2n=…=a_nn-a_（n-1）n．
故d₂-d₁=d₃-d₂=…=d_n-d_n-1，即d_n是公差為d₂-d₁的等差數(shù)列．
所以，d_m=d₁+（m-1）（d₂-d₁）=（2-m）d₁+（m-1）d₂．
令p₁=2-m，p₂=m-1，則d_m=p₁d₁+p₂d₂，此時p₁+p₂=1．
故答案為：1．

點評：此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡求值，考查了利用函數(shù)的思想解決實際問題的能力，是一道中檔題．