Question

8．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）y=-x²+2|x-1|+3；
（2）y=$\sqrt{{x}^{2}-6x+9}$+$\sqrt{{x}^{2}+6x+9}$．

Answer 1

分析 （1）去絕對值號得到y(tǒng)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1}&{x≥1}\\{-{x}^{2}-2x+5}&{x＜1}\end{array}\right.$，這樣變成了分段函數(shù)，在每段上都是二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過配方，便可去掉根號得到y(tǒng)=|x-3|+|x+3|，然后去絕對值號，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可得出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）y=-x²+2|x-1|+3=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+1}&{x≥1}\\{-{x}^{2}-2x+5}&{x＜1}\end{array}\right.$；
∴①x≥1時，該函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞減；
②x＜1時，在（-1，1）單調(diào)遞減，且-1²+2×1+1=-1²-2×1+5，在（-∞，-1]單調(diào)遞增；
∴該函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，-1]上單調(diào)遞增；
（2）$y=\sqrt{{x}^{2}-6x+9}+\sqrt{{x}^{2}+6x+9}$=|x-3|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x}&{x≤-3}\\{6}&{-3＜x＜3}\\{2x}&{x≥3}\end{array}\right.$；
∴該函數(shù)在（-∞，-3]上單調(diào)遞減，在[3，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，帶根號的情況可考慮變成完全平方的形式去根號，以及二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，一次函數(shù)和分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷．