Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓+y²=1的左、右焦點(diǎn)．
（1）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求向量乘積的取值范圍；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0，2）的直線(xiàn)l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且∠MON為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．
（3）設(shè)A（2，0），B（0，1）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)y=kx（k＞0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知，，設(shè)P（x，y），則=x²+y²-3=．由此能夠求出向量乘積的取值范圍．
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立，得：，由韋達(dá)定理和根的判別式知：或k，又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?＞0，由此能求出直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．
（3）由題設(shè)|BO|=1，|AO|=2．設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=，由此能求出S的最大值．
解答：解：（1）根據(jù)題意易知，所以，
設(shè)P（x，y），則
=x²+y²-3
=
=．
故-2．
（2）顯然直線(xiàn)x=0不滿(mǎn)足題設(shè)條件，可設(shè)直線(xiàn)l：y=kx-2，M（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立，消去y，整理得：，
∴，
由，
得：或k，
又0°＜∠MON＜90°?cos∠MON＞0?＞0，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=
=．
∵，
即k²＜4，∴-2＜k＜2．
故由①、②得，或．
（3）由題設(shè)，|BO|=1，|AO|=2．
設(shè)y₁=kx₁，y₂=kx₂，由x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂=
=≤=2，
當(dāng)x₂=2y₂時(shí)，上式取等號(hào)．所以S的最大值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，具體涉程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．