Question

已知橢圓x²+4y²=16，直線AB過點(diǎn) P（2，-1），且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若直線AB的斜率是

1

2

，則|AB|的值為

2

5

．

Answer 1

分析：由橢圓x²+4y²=16，直線AB過點(diǎn) P（2，-1），且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，直線AB的斜率是

1

2

，導(dǎo)出直線AB的方程為x-2y-4=0．聯(lián)立

x2+4y2=16 x-2y-4=0

，能夠求出|AB|．

解答：解：∵橢圓x²+4y²=16，直線AB過點(diǎn) P（2，-1），
且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，直線AB的斜率是

1

2

，
∴直線AB的方程為y+1=

1

2

（x-2），即x-2y-4=0．
聯(lián)立

x2+4y2=16 x-2y-4=0

，消去x，得y²+2y=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），解得

x1=4 y1=0

，

x2=0 y2 =-2

，
∴|AB|=

16+4

=2

5

．
故答案為：2

5

．

點(diǎn)評：本題考查弦長公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)、直線方程等知識點(diǎn)，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．