Question

函數(shù)f（x）=cos³x+sin²x-cosx在[0，2π）上的最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：令cosx=t，由 x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²） （1-t），再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cos³x+sin²x-cosx=cos³x+1-cos²x-cosx=（1-cos²x）（1-cosx）．
令 cosx=t，∵x∈[0，2π），可得-1≤t≤1，f（x）=g（t）=（1-t²）（1-t），
∴g′（t）=3t²-2t-1．
令g′（t）=0，求得t=1，或t=-

1

3

．
再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號可得g（t）的增區(qū)間為[-1，-

1

3

]，減區(qū)間為（-

1

3

1]．
故當(dāng)t=-

1

3

時，函數(shù)g（t）取得最大值為

32

27

．
故答案為：

32

27

．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬中檔題．