Question

已知數(shù)列{a_n}的通項為a_n=

3n

3n+2

．
（1）若S_n是數(shù)列{

1

an

}的前n項和，試求S_n；
（2）若存在滿足m+n=2s的正整數(shù)m，s，n，使a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比數(shù)列，求證：m=n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得

1

an

=1+

2

3n

，由此利用分組求和法和等比數(shù)列的性質能求出S_n．
（2）由已知條件利用等比數(shù)列的性質得(

3n

3n+2

-1)•(

3m

3m+2

-1)=（

3s

3s+2

-1）²．從而3^m+3ⁿ=2•3^s，由此利用均值不等式能證明m=n．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的通項為a_n=

3n

3n+2

，
∴

1

an

=1+

2

3n

，
∴S_n=n+2（

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

）
=n+2×

1 3 ×(1- 1 3n )

1- 1 3

=n+1-

1

3n

．
（2）證明：∵m+n=2s，（a_m-1）（a_n-1）=（a_s-1）²，
a_n=

3n

3n+2

．
∴(

3n

3n+2

-1)•(

3m

3m+2

-1)=（

3s

3s+2

-1）²．
化簡得：3^m+3ⁿ=2•3^s，
∵3m+3n≥2•

3m+n

=2•3s，當且僅當m=n時等號成立．
∴m=n．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，考查兩數(shù)相等的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法和均值不等式的合理運用．